Wikipedia - Ciąg_uogólniony

Wikipedia - kopia Wikipedii, wolnej encyklopedii

Ciąg uogólniony - w teorii mnogości, rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym.

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Punkty skupienia i granica
- 1.2 Subtelniejsze ciągi uogólnione
2 Własności
3 Literatura
4 Zobacz też
5 Przypisy

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem, $( \Sigma, \leq )$ zbiorem skierowanym. Ciągiem uogólnionym nazywamy zbiór $S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}$ ^[1], gdzie $x σ$ jest elementem zbioru $X$ przyporządkowanym elementowi $\sigma\in\Sigma$ .

[edytuj] Punkty skupienia i granica

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Punkt $x\in X$ nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego $S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}$ , jeśli

$\bigwedge_{U\subseteq X}\bigwedge_{\sigma_0\in \Sigma}\bigvee_{\sigma\geq \sigma_0}x_\sigma\in U$

gdzie $U$ oznacza otoczenie punktu $x$ .

Punkt $x\in X$ nazywamy granicą ciągu uogólnionego $S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}$ jeśli

$\bigwedge_{U\subseteq X}\bigvee_{\sigma_0\in \Sigma}\bigwedge_{\sigma\geq \sigma_0}x_\sigma\in U$

gdzie $U$ , tak jak poprzednio, oznacza otoczenie punktu $x$ . Mówimy wtedy również, że $S$ jest zbieżny do $x$ .

Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu $S$ oznaczamy $\lim S$ albo $\lim_{\sigma\in\Sigma}S$ .

[edytuj] Subtelniejsze ciągi uogólnione

Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu.

Ciąg uogólniony $S=\{x_{\sigma^\prime}\colon\; \sigma^\prime\in\Sigma^\prime\}$ nazywamy subtelniejszym od ciągu $S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}$ , jeśli istnieje funkcja $\varphi\colon \Sigma^\prime\to\Sigma$ , spełniająca warunki:

$\bigwedge_{\sigma_0\in\Sigma}\bigvee_{\sigma_0^\prime\in\Sigma^\prime}\left[ \sigma^\prime\geq \sigma_0^\prime \Rightarrow \varphi(\sigma^\prime)\geq \sigma_0\right]$ .
$\bigwedge_{\sigma^\prime\in\Sigma^\prime}x_{\varphi(\sigma^\prime)}=x_{\sigma^\prime}$ .

[edytuj] Własności

Jeśli punkt $x$ jest punktem skupienia ciągu uogólnionego $S^\prime$ subtelniejszego od $S$ , to $x$ jest punktem skupienia $S$ .
Jeśli punkt $x$ jest granicą ciągu uogólnionego $S$ , to jest także granicą subtelniejszego ciągu uogólnionego $S^\prime$ .
Jeśli punkt $x$ jest punktem skupienia ciągu uogólnionego $S$ , to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego $S^\prime$ , subteleniejszego od $S$ .

[edytuj] Literatura

Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ Czasem piszemy także $S=(x_\sigma)_{\sigma\in\Sigma}$ .