Wikipedia - Część

Wikipedia - kopia Wikipedii, wolnej encyklopedii

Podłoga i sufit – w matematyce funkcje zaokrąglające liczby rzeczywiste do liczb całkowitych odpowiednio w dół i w górę.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Nazwy
4 Własności
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Podłoga (część całkowita, cecha, entier) liczby rzeczywistej $x$ , oznaczana $\lfloor x \rfloor$ , $[x]$ , $\operatorname{E}(x)$ lub $\operatorname{Ent}(x)$ to największa liczba całkowita nie większa od $x$ . Symbolicznie:

$\lfloor x \rfloor = \max\{k \in \mathbb Z\colon k \leqslant x \}$

Natomiast sufit (powała) liczby rzeczywistej $x$ to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od $x$ . Liczbę tę oznaczamy symbolem $\lceil x \rceil$ . Symbolicznie:

$\lceil x \rceil = \min\{k \in \mathbb Z\colon k \geqslant x\}$

Częścią ułamkową (mantysą) liczby rzeczywistej $x$ nazywa się liczbę $x - \lfloor x \rfloor$ . Oznacza się ją ${x}$

$\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$

[edytuj] Przykłady

$\lfloor 2,9 \rfloor = 2, \quad \lfloor -2 \rfloor = -2, \quad \lfloor -2,1 \rfloor = -3$ .

$\lceil 0 \rceil = 0, \quad \lceil 0,3 \rceil = 1, \quad \lceil -0,8 \rceil = 0, \quad \lceil -3,4 \rceil = -3$ .

$\{2,567\} = 0,567, \quad \{-4,23\} = 0,77$ .

[edytuj] Nazwy

Pierwotnie używano terminów: część całkowita oraz część ułamkowa, których nazwa odpowiada intuicyjnemu rozumieniu tych pojęć dla nieujemnych liczb rzeczywistych. Obie te nazwy przeczą jednak intuicji dla liczb ujemnych i wprowadzają przez to pewne zamieszanie. Mimo wszystko są one nadal używane w matematyce. Z kolei nazwa entier pochodzi od francuskiego słowa oznaczającego „całość” i bywa często używana w analizie w kontekście funkcji. Terminy cecha i mantysa używane są przede wszystkim podczas opisu własności logarytmów. Pojęcia te obrazowane są tradycyjnie za pomocą oznaczeń $[ \cdot ], \{ \cdot \}, \operatorname{Ent}, \operatorname{E}$ .

Nazwy przytoczone w tym artykule zostały wprowadzone przez Donalda Knutha, który zaproponował oznaczenie $\lfloor \cdot \rfloor$ dla części całkowitej, którą nazwał podłogą, w opozycji do powały oznaczanej $\lceil \cdot \rceil$ . Pojęcia te są dosłownymi tłumaczeniami angielskich nazw, odpowiednio: floor dla podłogi oraz ceiling dla sufitu. Pojęcia te stosowane są szczególnie w informatyce, gdzie pierwsza z nich skracana jest zwykle do flor, druga zaś do ceil tak, aby zachować czteroliterowe oznaczenia.

[edytuj] Własności

[edytuj] Podłoga i sufit

Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności:

$\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor + 1$

$\lceil x \rceil - 1 < x \leqslant \lceil x \rceil$

Ponadto

$\lfloor x \rfloor \leqslant x \leqslant \lceil x \rceil$

przy czym równość zachodzi wyłącznie dla całkowitych x. W pozostałych przypadkach obie nierówności są ostre i mamy:

$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1$

Przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej jej podłogę lub sufit otrzymujemy funkcje ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb całkowitych.

Wykres funkcji podłoga

Funkcje podłoga i sufit są niemalejące:

$x \leqslant y \implies \lfloor x \rfloor \leqslant \lfloor y \rfloor$ ,

$x \leqslant y \implies \lceil x \rceil \leqslant \lceil y \rceil$ .

Ponadto:

$\lfloor x+y \rfloor \geqslant \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ ,
$\lfloor k+x \rfloor = k + \lfloor x \rfloor$ dla dowolnego $k \in \mathbb Z$ .

[edytuj] Część ułamkowa

Część ułamkowa należy zawsze do przedziału $\langle0;1)$ :

$0 \leqslant \{x\} < 1$ .

Wykres mantysy

Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako $x \mod 1$ , gdzie $\mod$ jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste.

Część ułamkowa jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $t 0 = 1$ .

Jeżeli liczba a jest niewymierna, wtedy liczby postaci {k·a}, dla k przebiegającego zbiór liczb naturalnych, równomiernie pokrywają przedział otwarty (0,1). Formalnie stwierdzenie to można zapisać jako:

$\lim_{n \to \infty}{1\over n}\sum_{k=1}^n f(\{ka\}) =\int\limits_0^1 f(t)\,dt$

o ile funkcja $f$ jest funkcją ograniczoną i prawie wszędzie ciągłą.

Fakt ten został odkryty i udowodniony niezależnie przez P. Bohla, Wacława Sierpińskiego i Hermanna Weyla około roku 1909.

[edytuj] Cecha i mantysa logarytmu (dziesiętnego)

Cechę logarytmu (dziesiętnego) liczby można odczytać z jej zapisu dziesiętnego:

Cecha logarytmu liczby rzeczywistej większej od 1 jest o 1 mniejsza od liczby cyfr jej części całkowitej, np. cecha logarytmu liczby 34 456,92 wynosi 4, c.l. 234 = 2.
Cecha logarytmu liczby rzeczywistej mniejszej od 1 jest ujemna i równa minus liczba wszystkich zer przed pierwszą cyfrą znaczącą tej liczby. Na przykład cecha logarytmu liczby 0,000 802 wynosi –4, c.l. 0,054 = –2, c.l. 0,24 = –1.

Jeżeli cecha logarytmu jest ujemna, to zapisujemy ją w specjalny sposób: bez znaku "–", lecz z nadkreśleniem u góry. Zatem cechę logarytmu liczby 0,000 802 zapiszemy jako $\overline{4}$ .

Przykłady

$\lg 0,000\ 001 = \overline 6,000\ 000$ ;
$\lg 0,000\ 01 = \overline 5,000\ 000$ ;
$\lg 0,000\ 1 = \overline 4,000\ 000$ ;
$\lg 0,001 = \overline 3,000\ 000$ ;
$\lg 0,01 = \overline 2,000\ 000$ ;
$\lg 0,1 = \overline 1,000\ 000$ ;
$\lg 1 = 0,000\ 000$ ;
$\lg 10 = 1,000\ 000$ ;
$\lg 100 = 2,000\ 000$ ;
$\lg 1\ 000 = 3,000\ 000$ ;
$\lg 10\ 000 = 4,000\ 000$ ;
$\lg 100\ 000 = 5,000\ 000$ ;
$\lg 1\ 000 000 = 6,000\ 000$ ;

Mantysa logarytmów liczb $1; 10; 100; 1000; \dots; 0,1; 0,01; 0,001; \dots$ wynosi $0$ , np.:

lg 10 000 = 4,000 00
lg 1 000 = 3,000 00
lg 100 = 2,000 00
lg 10 = 1,000 00
lg 1 = 0,000 00
lg 0,1 = $\overline{1}$ ,000 00
lg 0,01 = $\overline{2}$ ,000 00
lg 0,001 = $\overline{3}$ ,000 00

Wszystkie liczby różniące się tylko położeniem przecinka dziesiętnego lub liczbą zer na początku lub końcu liczb, mają logarytm z jednakową mantysą, np.:

lg 4 028 000 = 6,605 09
lg 4 028 = 3,605 09
lg 40,28 = 1,605 09
lg 4,028 = 0,605 09
lg 0,4028 = $\overline{1}$ ,605 09
lg 0,040 28 = $\overline{2}$ ,605 09
lg 0,004 028 = $\overline{3}$ ,605 09

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki.