Wikipedia - Czasoprzestrzeń

Wikipedia - kopia Wikipedii, wolnej encyklopedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: horror gramatyczny i matematyczny - nie zabieram się do poprawek bo mółbym przegiąć z formalizmem matematycznym, ale proszę żeby jakiś fizyk rzucił na to okiem Loxley (dyskusja) 12:10, 22 mar 2008 (CET).
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z trójwymiarową przestrzenią fizyczną umożliwia elegancki opis szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę swą zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który wprowadził ją w 1907.

[edytuj] Ujęcie matematyczne

W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna.

Czasoprzestrzeń Minkowskiego formalnie jest czterowymiarową przestrzenią liniową $M$ nad ciałem liczb rzeczywistych, w której zdefiniowana jest forma (funkcjonał) $\langle \cdot, \cdot \rangle$ , nazywana iloczynem zewnętrznym, spełniająca warunki:

dwuliniowości:

$\langle a\mathbf u + \mathbf v, \mathbf w \rangle = a\langle \mathbf u, \mathbf w \rangle + \langle \mathbf v, \mathbf w \rangle$ dla wszystkich $a \in \mathbb R, \mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \in M$
symetryczności:

$\langle \mathbf v, \mathbf w \rangle = \langle \mathbf w, \mathbf v \rangle$
niezdegenerowania:

jeśli dla wszystkich $\mathbf w$ $\langle \mathbf v, \mathbf w \rangle = 0$ , to $\mathbf v = 0$

Warunek 3. jest osłabieniem warunku dodatniej określoności (każdy funkcjonał dodatnio określony jest niezdegenerowany, ale nie na odwrót). Iloczyn zewnętrzny pozwala zdefiniować długość wektora wzorem

$|\mathbf u|^2 = \langle \mathbf u, \mathbf u \rangle$

Wektory jednostkowe $\mathbf e$ przy tym $|\mathbf e| = 1$ . Punktowi $p$ w czasoprzestrzeni przyporządkowuje się wektor $\mathbf x$ o czterech współrzędnych $\mathbf x^\mu, \mu = (0, 1, 2, 3)$

$\mathbf x = \mathbf x^\mu\mathbf e_\mu$

gdzie $\mathbf e_\mu$ są czterema liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Powtarzanie się na przekątnej dwóch wskaźników oznacza sumowanie po $μ$ od 0 do 3 (tzw. umowa sumacyjna Einsteina). Długość dowolnego wektora podniesiona do kwadratu to $|\mathbf x|^2 = \langle \mathbf x^\mu\mathbf e_\mu, \mathbf x^\nu\mathbf e_\nu \rangle = \mathrm g_{\mu\nu}\mathbf x^\mu\mathbf x^\nu$ , gdzie $g$ jest tensorem metrycznym zdefiniowanym przez wszystkie formy dla wektorów jednostkowych

$\mathrm g_{\mu\nu}= \langle \mathbf e_\mu, \mathbf e_\nu \rangle$

Odległość między dwoma punktami o współrzędnych $(\mathbf x + d\mathbf x)^\mu$ i $\mathbf x^\mu$ określa odległość (interwał czasoprzestrzenny)

$d\mathbf s^2 = \mathrm g_{\mu\nu} d\mathbf x^\mu d\mathbf x^\nu$

Przestrzeń Minkowskiego jest przestrzenią globalnie płaską, w której

$\mathrm g_{\mu\nu}= \eta_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

W jawnej postaci długość wektora $\mathbf z$ to

$|\mathbf x|^2 = (\mathbf x^0)^2 - (\mathbf x^1)^2 - (\mathbf x^2)^2 - (\mathbf x^3)^2$ .

Wektor $\mathbf x$ nazywa się:

czasopodobnym, jeżeli $|\mathbf x|^2 > 0$ ,
przestrzennopodobnym, jeżeli $|\mathbf x|^2 < 0$ ,
światłopodobnym lub zerowym, jeżeli $|\mathbf x|^2 = 0$ .

W przestrzeni tej może istnieć więcej niż jeden wektor zerowy, zatem nie jest ona dobrze zdefiniowaną przestrzenią metryczną. Zbiór wektorów światłopodobnych nazywa się stożkiem świetlnym. Jest to zbiór punktów czasoprzestrzeni, które można połączyć promieniem świetlnym, $\mathbf x^0 = ct$ , gdzie $c$ jest prędkością światła w próżni. Wzajemna widoczność dwóch obiektów oznacza, że znajdują się one na wspólnym stożku świetlnym; interwał czasoprzestrzenny jest równy zeru, mimo że w przestrzeni trójwymiarowej dzieli je pewna odległość.

Odległość w czasoprzestrzeni niezmiennicza jest względem transformacji Poincarégo danej wzorem

$\mathbf x^\mu \mapsto {x'}^\mu = \Lambda^\mu_\nu \mathbf x^\nu + \mathbf a^\mu$ .

Zbiór takich transformacji parametryzowanych za pomocą macierzy $Λ$ i wektora translacji $\mathbf a$ tworzy grupę Poincarégo. Zachowanie odległości w czasoprzestrzeni narzuca warunki

$\mathrm g_{\mu\nu} \Lambda^\mu_\rho \Lambda^\nu_\tau = \mathrm g_{\rho\tau}$ .

Są to macierze Lorentza. Tworzą one grupę Lorentza, która jest podgrupą grupy Poincarégo:

$\mathbf x^\mu \to {\mathbf x'}^\mu = \Lambda^\mu_\nu \mathbf x^\nu$ .

Następną podgrupą jest grupa translacji w czasoprzestrzeni

$\mathbf x^\mu \to {\mathbf x'}^\mu = \mathbf \mathbf x^\mu + \mathbf a^\mu$ .

Wszystkie są ciągłymi grupami Liego. Grupa translacji parametryzowana jest przez cztery parametry rzeczywiste, a grupa Lorentza przez sześć. Symetrie te zgodnie z twierdzeniem Noether prowadzą do odpowiednich praw zachowania w fizyce.

Ruch w czasoprzestrzeni Minkowskiego opisuje trajektoria $\mathbf x^\mu(\tau)$ , gdzie $τ$ jest parametrem niezmienniczym (tzn. nie jest czasem). Np. można zdefiniować $c d\tau = d\mathbf s$ , gdzie $\mathbf s$ jest interwałem czasoprzestrzennym, $τ$ nazywa się czasem własnym.

$d \tau = dt \sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}.$

Analogicznie do wektora prędkości w przestrzeni trójwymiarowej zdefiniować można czterowektor prędkości

$\mathbf u^\mu = \frac{d\mathbf x^\mu}{d\tau} = \left\{\frac{c}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}} \frac{d\mathbf x^i}{dt}\right\}$

i czterowektor pędu

$\mathbf p^\mu = m \mathbf u^\mu$ .

Wektor pędu ( $μ = i = {1,2,3}$ ) w fizyce relatywistycznej ma postać

$\mathbf p^i = m \mathbf u^i = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}} \frac{d\mathbf x^i}{dt} = m(\mathbf v)\frac{d\mathbf x^i}{dt}$

identyczną jak fizyce nierelatywistycznej, jeżeli zamienimy masę spoczynkową $m$ na masę relatywistyczną

$m(v)=\frac{m}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}}.$

Wielkości te nie są niezależne

$\mathbf u^\mu u_\mu = \mathrm g_{\mu\nu}\mathbf u^\mu \mathbf u^\nu = c^2$

i podobnie

$\mathbf p^\mu \mathbf p_\mu = \mathrm g_{\mu\nu} \mathbf p^\mu \mathbf p^\nu = m^2 c^2$

Stąd otrzymujemy związek

$\mathbf p_0 = \frac{E_\mathbf p}{c} = \pm \sqrt{\mathbf p^2 + m^2 c^2}$

[edytuj] Historia

Minkowski wprowadził czasoprzestrzeń i używał jej Einstein w innej postaci niż używana obecnie.

Przyjął, że osie układu współrzędnych będą oznaczane przez x z indeksem xⁱ, i= {1,2,3,4}. Współrzędne przestrzenne i czas przekształcają się na nowe współrzędne w następujący sposób:

x 1 = x

x 2 = y

x 3 = z

x 4 = i c t

gdzie $i = \sqrt{-1}$

W przestrzeni tej "odległość" (interwał czasowoprzestrzenny) określony jest tak jak odległość w trójwymiarowej przestrzeni:

S 2 = (x 1) 2 + (x 2) 2 + (x 3) 2 + (x 4) 2

Przestrzeń ta nie jest, tak jak obecna przestrzeń Minkowskiego, przestrzenią rzeczywistą, bo współrzędna odpowiadająca czasowi jest wielkością urojoną, urojoność współrzędnej czasowej zapewnia odpowiednią metrykę tej przestrzeni.