Wikipedia - Diagram

Wikipedia - kopia Wikipedii, wolnej encyklopedii

Diagram Cichonia to pojęcie w teorii mnogości, oznaczające tablicę utworzoną przez dziesięć liczb kardynalnych, związanych ze strukturą ideałów zbiorów pierwszej kategorii i zbiorów miary zero na prostej rzeczywistej, oraz ze strukturą przestrzeni Baire'a ${\mathbb N}^{\mathbb N}$ (tzn przestrzeni wszystkich ciągów liczb naturalnych).

[edytuj] Definicje

Niech $I$ będzie ideałem podzbiorów $X$ , który zawiera wszystkie podzbiory jednopunktowe. Definiujemy współczynniki kardynalne ideału $I$ następująco :

${\rm add}(I)=\min\{|{\mathcal A}|: {\mathcal A}\subseteq I \wedge \bigcup{\mathcal A}\notin I\big\}$ .

(Innymi słowy, liczba kardynalna add(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I musimy połączyć, aby dostać zbiór nie należący do ideału?")

${\rm cov}(I)=\min\{|{\mathcal A}|:{\mathcal A}\subseteq I \wedge\bigcup{\mathcal A}=X\big\}$ .

(cov(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, aby pokryć cały zbiór X?")

${\rm non}(I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge\ A\notin I\big\}$ ,

(non(I) jest odpowiedzią na pytanie: "Ile elementów ma najmnieszy zbiór nie należący do I?")

${\rm cof}(I)=\min\{|{\mathcal B}|:{\mathcal B}\subseteq I \wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal B})(A\subseteq B)\big\}.$

Definiujemy także następujące dwie liczby kardynalne (nazywane liczbą nieograniczoną i liczbą dominującą, odpowiednio):

${\mathfrak b}=\min\big\{|F|:F\subseteq{\mathbb N}^{\mathbb N}\ \wedge\ (\forall g\in {\mathbb N}^{\mathbb N})(\exists f\in F)(\exists^\infty n\in{\mathbb N})(g(n)<f(n))\big\}$ ,
${\mathfrak d}=\min\big\{|F|:F\subseteq{\mathbb N}^{\mathbb N}\ \wedge\ (\forall g\in{\mathbb N}^{\mathbb N})(\exists f\in F)(\forall^\infty n\in{\mathbb N})(g(n)<f(n))\big\}$ ,

gdzie " $\exists^\infty n\in{\mathbb N}$ " oznacza "istnieje nieskończenie wiele takich $n\in{\mathbb N}$ , że" oraz " $\forall^\infty n\in{\mathbb N}$ " oznacza "dla wszystkich, oprócz skończenie wielu $n\in{\mathbb N}$ mamy, że".

[edytuj] Diagram

Niech ${\mathcal K}$ będzie σ-ideałem tych podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii, oraz niech ${\mathcal L}$ oznacza σ-ideał zbiorów miary zero na prostej. Wówczas zachodzą następujące nierówności, gdzie każda strzałka " $\longrightarrow$ " zastępuje znak nierówności " $\leq$ ":

		${\rm cov}({\mathcal L})$	$\longrightarrow$	${\rm non}({\mathcal K})$	$\longrightarrow$	${\rm cof}({\mathcal K})$	$\longrightarrow$	${\rm cof}({\mathcal L})$	$\longrightarrow$	$2^{\aleph_0}$
		$\Bigg\uparrow$		$\uparrow$		$\uparrow$		$\Bigg\uparrow$
				${\mathfrak b}$	$\longrightarrow$	${\mathfrak d}$
				$\uparrow$		$\uparrow$
$\aleph_1$	$\longrightarrow$	${\rm add}({\mathcal L})$	$\longrightarrow$	${\rm add}({\mathcal K})$	$\longrightarrow$	${\rm cov}({\mathcal K})$	$\longrightarrow$	${\rm non}({\mathcal L})$

Z powyższym diagramem związane są dwie dodatkowe zależności:

${\rm add}({\mathcal K})=\min\{{\rm cov}({\mathcal K}),{\mathfrak b}\}$ oraz ${\rm cof}({\mathcal K})=\min\{{\rm non}({\mathcal K}),{\mathfrak d}\}$ .

Okazuje się, że każde rozmieszczenie wartości $\aleph_1$ i $\aleph_2$ w diagramie, które jest zgodne z nierównościami i powyższymi dwoma równościami jest niesprzeczne z ZFC. Aksjomat Martina implikuje że ${\rm add}({\mathcal L})=2^{\aleph_0}$ (a więc i pozostałe współczynniki są równe $2^{\aleph_0}$ ), CH oczywiście implikuje że wszystkie liczby w diagramie są równe $\aleph_1$ .

[edytuj] Uwagi

Nazwa diagramu była wprowadzona przez brytyjskiego matematyka Dawida Fremlina^[1] dla uhonorowania wkładu wrocławskiego matematyka Jacka Cichonia i jego grupy w rozwój tej części teorii mnogości. Należy jednak podkreślić, że ostateczny kształt diagramu jest wynikiem pracy wielu matematyków polskich i zagranicznych. W miarę aktualny stan badań w tej i pokrewnych dziedzin jest przedstawiony w monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha ^[2]

Dowody nierówności związanych z diagramem Cichonia są bardzo efektywne i mówią o strukturze miary i kategorii więcej niż wynika to z nierównowności pomiędzy odpowiednimi liczbami kardynalnymi. Dlatego są też rozważane wersje diagramu dla własności rozszerzeń modeli teorii mnogości^[3] oraz dla własności pewnych rodzin zbiorów "małych"^[4].

[edytuj] Bibliografia

↑ Fremlin, David H.: Cichon's diagram, "Publ. Math. Univ. Pierre Marie Curie" 66, Sémin. Initiation Anal. 23ème Année-1983/84, Exp. No.5, 13 p. (1984). Zbl 0559.03029
↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim: Set theory. On the structure of the real line.A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. xii+546 pp. ISBN 1-56881-044-X
↑ Pawlikowski, Janusz: Why Solovay real produces Cohen real, "J. Symbolic Logic" 51 (1986), s. 957-968.
↑ Pawlikowski, Janusz; Recław, Ireneusz: Parametrized Cichoń's diagram and small sets, "Fundamenta Mathematicae" 147 (1995), s. 135-155.