Wikipedia - Element

Wikipedia - kopia Wikipedii, wolnej encyklopedii

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Oznaczenia
2 Przykłady
3 Własności
4 Zastosowania
5 Zobacz też

Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

[edytuj] Definicja

Niech $S$ będzie zbiorem z określonym działaniem dwuargumentowym $\diamondsuit$ . Element $e$ nazywa się elementem neutralnym, jeżeli spełnia następujące warunki:

$\forall_{a \in S} \; e \;\diamondsuit\; a = a$ ,
$\forall_{a \in S} \; a \;\diamondsuit\; e = a$ .

Jeżeli element spełnia tylko pierwszy warunek definicji, to nazywa się go elementem neutralny lewostronnym, jeżeli zaś zadość jest wyłącznie drugiemu z nich, to nosi on nazwę elementu neutralnego prawostronnego. Dla wyróżnienia element neutralny nazywa się niekiedy elementem neutralnym obustronnym.

[edytuj] Oznaczenia

Jeśli działanie zapisane jest w notacji addytywnej, czyli przez $+$ i podobne symbole, to element neutralny względem tego działania oznacza się zazwyczaj symbolem $0$ i nazywa elementem zerowym lub krótko: zerem. Jeśli natomiast działanie opisywane jest w notacji multiplikatywnej, czyli zwykle za pomocą $\cdot, \times$ lub bez oznaczenia, to element neutralny oznaczany jest zwyczajowo za pomocą znaku $1$ , który nazywa się elementem jednostkowym, jednością bądź jedynką.

Innymi często spotykanymi oznaczeniami są litera $e$ oraz $I$ oraz symbole z nimi powiązane.

[edytuj] Przykłady

element neutralny obustronny

Zero w grupie addytywnej ciała liczb rzeczywistych $\mathbb R^+$ .
Jedynka w grupy multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych $\mathbb R^*$ .
Macierz jednostkowa dla mnożenia w pierścieniu macierzy kwadratowych ustalonego wymiaru.
Odwzorowanie tożsamościowe w grupach bijekcji (ze składaniem przekształceń).
Jedynka nie jest elementem neutralnym mnożenia liczb całkowitych zawężonego do zbioru liczb parzystych, gdyż jest liczbą nieparzystą.

elementy neutralne jednostronne

Działaniem posiadającym wyłącznie prawostronny element neutralny jest odejmowanie liczb rzeczywistych, którym jest zero:

$\forall_{x \in \mathbb R}\; x - 0 = x$ ,

jednocześnie

$\forall_{x \in \mathbb R}\; 0 - x = -x$ ,

a zatem zero nie jest elementem neutralnym lewostronnym.

Działanie może mieć wiele elementów neutralnych jednostronnych. Niech $x \;\diamondsuit\; y = x \cdot \lfloor y \rfloor$ będzie działaniem w zbiorze $S = \{x \in \mathbb R: x \geqslant 1\}$ , gdzie $\lfloor \cdot \rfloor$ oznacza podłogę (część całkowitą). W tym przypadku każda liczba $y < 2$ jest elementem neutralnym prawostronnym, bowiem

$\forall_{S \ni x, y < 2}\; x \;\diamondsuit\; y = x \cdot \lfloor y \rfloor = x \cdot 1 = x$ .

[edytuj] Własności

Jeżeli działanie ma jednocześnie elementy neutralne prawostronny i lewostronny, to są one sobie równe (jest to oczywiście element neutralny obustronny).
Jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym.

[edytuj] Zastosowania

W definicjach większość ważnych w praktyce struktur algebraicznych takich jak grupy, pierścienie (z jedynką), czy ciała zakłada się istnienie elementów neutralnych. Istnieją jednak ich uogólnienia, jak np. grupoid, półgrupa, czy pierścień (bez aksjomatu jedynki), w których element ten nie musi istnieć.

[edytuj] Zobacz też