Wikipedia - Faktoryzacja

Wikipedia - kopia Wikipedii, wolnej encyklopedii

Na tę stronę wskazuje przekierowanie ze strony Rozkład na czynniki. Zobacz też: czynniki pierwsze.

Faktoryzacja (rozkład na czynniki) to proces, który dla danego $x$ znajduje takie obiekty, że ich iloczyn jest równy $x$ i są one w pewnym sensie prostsze od $x$ .

Faktoryzacja liczby całkowitej x, czyli to co zwykle mamy na myśli mówiąc o faktoryzacji, to znalezienie takich liczb całkowitych y₁, y₂, ..., y_n, że ich iloczyn jest równy danej liczbie: $x = y_{1}y_{2}\cdots y_{n}$ , przy czym żadne z y_i nie może być równe 1 lub x (tzw. faktoryzacja trywialna).

Faktoryzacja wielomianu to znalezienie takich wielomianów, że ich iloczyn jest równy danemu. W tym wypadku rozwiązanie nietrywialne nie może zawierać wielomianu o tym samym stopniu, co wielomian faktoryzowany. Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem algebry dowolny wielomian o stopniu n nad ciałem liczb zespolonych można rozłożyć na iloczyn n wielomianów 1 stopnia.

[edytuj] Złożoność obliczeniowa

O ile mnożenie jest bardzo prostą czynnością, to nie są znane żadne szybkie (działające w czasie wielomianowym względem ilości cyfr rozkładanej liczby) metody faktoryzacji. Na złożoności obliczeniowej faktoryzacji opiera się system kryptografii asymetrycznej RSA.

Przykład: mając dwie liczby 65537 i 65539, można szybko je pomnożyć uzyskując 4295229443. Jednak aby rozłożyć 4295229443 na czynniki trzeba próbować podzielić je przez wszystkie liczby pierwsze po kolei, aż natrafi się na właściwe czynniki. Dla bardzo dużych liczb, możliwych czynników pierwszych będzie o wiele za dużo, żeby dało się je wszystkie sprawdzić. Istnieją efektywniejsze algorytmy (takie jak sito kwadratowe i GNFS), jednak wszystkie one działają w czasie wykładniczym wobec długości rozkładanej liczby.

[edytuj] Algorytmy faktoryzacji

Najprostszy algorytm polega na próbie dzielenia faktoryzowanej liczby $n$ przez wszystkie liczby pierwsze od 2 do $\sqrt n$ . Algorytm ten dobrze nadaje się do tego, żeby zacząć faktoryzować liczbę – losowa liczba ma zarówno małe jak i duże czynniki. Połowa liczb dzieli się przez 2, co trzecia przez 3, co piąta przez 5 itd. Jeśli więc faktoryzowana liczba jest losowa, możemy z bardzo dużym prawdopodobieństwem pozbyć się szybko niskich czynników, po czym skończyć faktoryzację innym algorytmem. W najgorszym przypadku ( $n$ jest iloczynem dwóch liczb pierwszych podobnej wielkości, jak w RSA) algorytm ten zajmie bardzo dużo czasu.

Niektóre algorytmy opierają się na znajdowaniu takiej pary liczb $x$ , $y$ ( $x \ne y \mod n$ ; $x \ne -y \mod n$ ), że:

$x^2 = y^2 \mod n$

$x^2 - y^2 = 0 \mod n$

$(x-y)(x+y) = 0 \mod n$

Czyli albo $x = y \mod n$ , albo $x = -y \mod n$ , albo $n$ ma wspólne dzielniki z $x - y$ oraz $x + y$ , a zatem sfaktoryzowaliśmy $n$ .

Najprostszą metodą tego typu jest sprawdzanie dla losowych liczb $z$ , czy $z^2 \mod n$ jest kwadratem (zwykłym, nie modulo). Możemy szybko znaleźć faktoryzację niektórych liczb, ale ogólnie metoda ta nie jest wiele lepsza od prób dzielenia.

O wiele lepszym sposobem jest wybranie zestawu małych liczb pierwszych, i próby faktoryzacji kwadratów $z 2$ kolejnych losowanych $z$ liczb używając tylko tych liczb pierwszych – jeśli faktoryzacja się nie powiedzie odrzucamy wylosowaną liczbę, jeśli się powiedzie zachowujemy $z$ i wykładniki:

$z^2 = p_0^{\alpha_0} p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$

A właściwie ich parzystości. Jeśli wybierzemy zbyt duży zestaw liczb pierwszych zwiększymy niepotrzebnie ilość obliczeń, jeśli wybierzemy zbyt mały odrzucimy zbyt dużo liczb.

Po uzbieraniu wystarczająco wielu relacji tego typu wybieramy taki podzbiór $z$ , że wszystkie potęgi po prawej stronie są parzyste (dlatego nie musimy zachowywać dokładnych wykładników, a jedynie ich parzystości). Nie musimy sprawdzać wszystkich możliwych zestawów – znalezienie właściwego jest relatywnie prostym problemem równoważnym odwracaniu macierzy.

Otrzymujemy wtedy:

$x^2 = y^2 \mod n$

Gdzie $x$ to iloczyn odpowiednich $z$ , a $y$ to iloczyn odpowiednich $p i$ w potędze będącej połową sumy potęg dla $z$ znajdujących się po lewej stronie. Z prawdopodobieństwem 50% (dla $n$ będącego iloczynem 2 liczb) lub większym (dla $n$ mającego więcej czynników) liczby te są nietrywialną taką parą ( $x \ne y \mod n$ , $x \ne -y \mod n$ ). Jeśli tak nie jest, możemy próbować znaleźć inny zestaw liczb $z 2$ , których iloczyn ma parzyste wykładniki.

Większość zaawansowanych algorytmów polega na szybszym znajdowaniu liczb o dobrych rozkładach.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne