Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się on na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.

W początkowym okresie rozwoju tego działu używano też nazwy logika symboliczna (w celu odróżnienia od logiki filozoficznej). Nazwa logika matematyczna została użyta po raz pierwszy przez włoskiego matematyka Giuseppe Peano.

[edytuj] Rys historyczny

Korzenie logiki matematycznej tkwią w badaniach Gottfrieda Leibniza, ale jej burzliwy rozwój zaczął się w pierwszej połowie XIX wieku w wyniku prac George'a Boole'a i Augusta De Morgana nad algebraizacją logiki. Niektóre z ważniejszych wydarzeń w historii logiki matematycznej:

• 1879: Gottlob Frege rozwija formalny rachunek logiczny bliski dzisiejszej logice drugiego rzędu.^[1]
• Lata 70. XIX wieku: niemiecki matematyk Georg Cantor rozwija podstawy współczesnej teorii mnogości .
• 1892-1908: Peano publikuje wielotomowy formalny wykład matematyki Formulario mathematico. Część dotycząca logiki matematycznej miała duży wpływ na późniejsze prace.
• 1899: David Hilbert podaje pierwsze, formalnie poprawne, aksjomatyczne ujęcie geometrii klasycznej, właściwie ją formalizując i podając 21 aksjomatów^[2].
• 1908: Ernst Zermelo przedstawia pierwszą próbę aksjomatyzacji teorii mnogości.^[3] Lista aksjomatów zaproponowana przez Zermelo została niezależnie poprawiona przez Thoralfa Skolema i Adolfa Fraenkela około roku 1922. Dzisiaj aksjomaty te, znane jako aksjomaty Zermelo-Fraenkela, są powszechnie akceptowaną podstawą teorii mnogości i całej matematyki.
• 1910-1913: Bertrand Russell i Alfred North Whitehead pracują nad formalizacją matematyki i logiki zawierając swoje wyniki w trzytomowej monografii Principia Mathematica.
• 1929: austriacki matematyk Kurt Gödel dowodzi w swojej rozprawie doktorskiej, że każda niesprzeczna teoria pierwszego rzędu ma model (twierdzenie Gödla o zupełności)^[4].
• 1931: Gödel publikuje sławne dwa twierdzenia o niezupełności^[5].
• 1933: Alfred Tarski publikuje sławną pracę o niedefiniowalności pojęcia prawdy^[6].
• 1936: Alan Turing wprowadza pojęcie maszyny Turinga zaczynając systematyczne badania funkcji obliczalnych i wykazując nierozstrzygalność problemu stopu.
• 1963/64: Paul Cohen wprowadza metodę forsingu^[7][8][9].

[edytuj] Współczesne badania

Zgodnie z klasyfikacją badań naukowych w matematyce prowadzoną przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, aktualne badania w logice matematycznej (oznaczonej kodem 03-xx Mathematical logic and foundations) są podzielona na osiem działów. Wśród nich znajdują się:

• 03Bxx Logika ogólna
• 03Cxx Teoria modeli
• 03Dxx Teoria rekursji
• 03Exx Teoria mnogości
• 03Fxx Teoria dowodu
• 03Gxx Logika algebraiczna
• 03Hxx Teoria modeli niestandardowych

Jednym z podstawowych źródeł o stanie badań we współczesnej logice matematycznej jest Handbook of mathematical logic^[10]. Zgodnie z tym źródłem (i jego podziałem na 4 części), można uznać, że teoria dowodu, teoria modeli, teoria rekursji i teoria mnogości są czwórką na którą składają się fundamenty matematyki.

[edytuj] Polscy matematycy

Logika matematyczna jest jedną z tych dziedzin matematyki, w których wkład polskich matematyków był i jest bardzo istotny. Matematycy związani zarówno z warszawską szkołą matematyczną jak i z lwowską szkołą matematyczną byli zainteresowani problemami w szeroko rozumianej logice matematycznej, choć często zainteresowania te były motywowane ich pracami w topologii czy też analizie funkcjonalnej. Między innymi dlatego pierwsze wyspecjalizowane czasopismo matematyczne na świecie, założone w Polsce Fundamenta Mathematicae, było poświęcone właśnie podstawom matematyki, logice matematycznej i związanym z nimi dziedzinom: topologii, teorii funkcji rzeczywistych i teorii miary.

Tradycje te są kontynuowane współcześnie przez wielu polskich matematyków pracujących w kraju jak i poza jego granicami. Wśród polskich matematyków powszechnie uznanych za wybitnych, ważny wkład w rozwój logiki matematycznej mieli:

• Stefan Banach (1892-1945),
• Zygmunt Janiszewski (1888-1920),
• Bronisław Knaster (1893-1980),
• Kazimierz Kuratowski (1896-1980),
• Stanisław Leśniewski (1886-1939),
• Jan Łukasiewicz (1878-1956),
• Jerzy Łoś (1920-1998),
• Edward Marczewski (1907-1976),
• Stanisław Mazur (1905-1981),
• Andrzej Mostowski (1913-1975),
• Otto M. Nikodym (1887-1974),
• Helena Rasiowa (1917-1994),
• Wacław Sierpiński (1882-1969),
• Roman Sikorski (1920-1983),
• Alfred Tarski (1901-1983),
• Stanisław Ulam (1909-1984).

[edytuj] Bibliografia

1. ↑ Frege, Gottlob: Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879.
2. ↑ Hilbert, David: Grundlagen der Geometrie, 1899.
3. ↑ Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. "Math. Ann." 65 (1908), s. 261-281.
4. ↑ Gödel, Kurt: Über die Vollständigkeit des Logikkalküls. Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem Hansa Hahna. Uniwersytet Wiedeński, 1929.
5. ↑ Gödel, Kurt: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. "Monatshefte für Mathematik und Physik" 38 (1931), s. 173-98
6. ↑ Tarski, Alfred: Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych, "Travaux de la Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie", Classe III, no 34 (1933).
7. ↑ Cohen, Paul: The independence of the continuum hypothesis. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 50 (1963), s. 1143-1148.
8. ↑ Cohen, Paul J.: The independence of the continuum hypothesis. II. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 51 (1964), s. 105-110.
9. ↑ Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1966.
10. ↑ Handbook of mathematical logic. Edytowane przez Jona Barwise'a we współpracy z H. J. Keislerem, K. Kunenem, Y. N. Moschovakisem and A. S. Troelstrą. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", tom 90. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. ISBN 0-7204-2285-X

[edytuj] Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Logika

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• logika

[edytuj] Linki zewnętrzne

• Logika dla informatyków (materiały dydaktyczne MIMUW na studia informatyczne II stopnia)
• Logika dla informatyków (skrypt prof. Leszka Pacholskiego z UWr)