Wikipedia - Model

Wikipedia - kopia Wikipedii, wolnej encyklopedii

Krzywa ostygania

Prawo stygnięcia (prawo stygnięcia Newtona) - w fizyce prawo określające z jaką szybkością ciała przekazują sobie energię cieplną w wyniku przewodnictwa ciepła. Prawo zostało sformułowane przez Izaaka Newtona.

Prawo nie obowiązuje jeżeli przekazywanie energii cieplnej odbywa się przez promieniowanie cieplne, konwekcję lub przewodzeniu towarzyszy zmiana stanu skupienia (np. parowanie).

Spis treści

1 Sformułowanie prawa
2 Stygnięcie przy stałej temperaturze otoczenia
- 2.1 Wyprowadzenie
- 2.2 Realność warunku stałości temperatury otoczenia
3 Stygnięcie przy zmiennej temperaturze otoczenia

[edytuj] Sformułowanie prawa

Prawo stygnięcia (prawo stygnięcia Newtona) mówi, że:

"Szybkość z jaką układ stygnie jest proporcjonalna do różnicy temperatur pomiędzy układem a otoczeniem."

Matematycznie można to wyrazić jako:

$\frac{dT}{dt} = -k \left(T - T_{R}\right) = -k \Delta T$

gdzie:

T - temperatura ciała;
T_R - temperatura otoczenia;
ΔT - różnica temperatur układu i otoczenia;
t - czas;
k - stała dla danego układu (zależna m.in. od fizycznej wielkości układu, jego pojemności cieplnej i jego wewnętrznej struktury, przenikalności cieplnej ścianek układu, rodzaju otoczenia).

[edytuj] Stygnięcie przy stałej temperaturze otoczenia

Z powyższego, przy założeniu stałości temperatury otoczenia, otrzymujemy eksponencjalną zależność temperatury stygnącego układu od czasu stygniecia:

$T(t) - T_{R} = \Delta T (t) = \Delta T (0) \ e^ {-k t}$

gdzie ΔT(0) - początkowa różnica temperatur.

[edytuj] Wyprowadzenie

Prawo ostygania zapisane w postaci

$\frac{dT}{dt}=-k\left( T-T_{R} \right)$

gdzie T_R jest temperaturą otoczenia a T - aktualną temperaturą układu, jest równaniem różniczkowym, w którym można rozdzielić zmienne

$\frac{dT}{T-T_{R}}=-kdt$

$\int\limits_{T_{0}}^{T}{\frac{dT}{T-T_{R}}}=-\int\limits_{0}^{t}{kd}t$

gdzie T₀ oznacza temperaturę początkową układu. Po wycałkowaniu

$\left. \ln \left( T-T_{R} \right) \right|_{T_{0}}^{T}=-kt$

$\ln \frac{T-T_{R}}{T_{0}-T_{R}}=-kt$

$T-T_{R}=\left( T_{0}-T_{R} \right)\exp \left( -kt \right)$

i ostatecznie:

$T=T_{R}+\left( T_{0}-T_{R} \right)\exp \left( -kt \right)$

Temperaturę stygnącego ciała w funkcji czasu ilustruje krzywa ostygania.

[edytuj] Realność warunku stałości temperatury otoczenia

Gdy ciało stygnie, wówczas temperatura otoczenia może się podnosić. Warunek stałości temperatuty otoczenia może być jednak utrzymany gdy

otoczenie ma dużą pojemność cieplną w porównaniu ze stygnącym przedmiotem (np. szklanka z herbatą na dworcu);
temperatura otoczenia utrzymywana jest za przez przemianę fazową zachodzącą w stałej temperaturze (np. topniejący lód) - wówczas ciepło dopływające do otoczenia w całości absorbowane jest do przemiany fazowej.

W praktyce stałość temperatury otoczenia można uzyskać przez użycie takich warunków eksperymentalnych jak:

łaźnia laboratoryjna, np. łaźnia wodna lub olejowa (poprzez termostatowanie)
woda z lodem (stała temperatura 0°C),
wrząca woda przy ciśnieniu standardowym (stała temperatura 100°C) itp.
ciekły azot w otwartym naczyniu (pod stałym ciśnieniem wrze w stałej temeraturze 77-78 K)

[edytuj] Stygnięcie przy zmiennej temperaturze otoczenia

[edytuj] Założenia

Jeżeli stygnący układ i bezpośrednie otoczenie układu są odizolowane od otoczenia termodynamicznego, prawo stygnięcia Newtona pozostaje słuszne, pomimo tego że temperatura otoczenia układu nie jest stała.

Najprościej można sobie wyobrazić 2 układy odizolowane termicznie od otoczenia a w kontakcie ze sobą poprzez przegrodę, przy czym wnętrza obu układów mają jednorodny rozkład temperatury (uzyskuje się np. poprzez mieszanie lub gdy szybkość przepływu ciepła przez przegrodę jest dużo mniejsza niż przepływ wewnątrz obu układów). Konieczne jest też założenie o (przynajmniej w przybliżeniu) stałości pojemności cieplnych obu układów (stałości ciepeł właściwych).

Przepływ ciepła przez przegrodę zależy od różnicy temperatur obu układów:

$\frac{dQ_{1}}{dt} = -k_{q} (T_{1} - T_{2})$

Oba układy są izolowane od otoczenia, a więc:

$\frac{dQ_{2}}{dt} = - \frac{dQ_{1}}{dt}$

[edytuj] Rozwiązanie

Różnice pojemności cieplnej obu układów (inna masa, m, i inne ciepło właściwe, C), powodują że ta sama ilość ciepła (energii) zmienia temperaturę w różny sposób:

d Q 2 = - d Q 1

Δ Q 2 = - Δ Q 1

d Q 1 = m 1 C 1 d T 1

Δ Q 1 = m 1 C 1 Δ T 1

d Q 2 = m 2 C 2 d T 2

Δ Q 2 = m 2 C 2 Δ T 2

a także:

$\frac{dT_1}{dT_2} = -\frac{m_2 C_2}{m_1 C_1} = const$

$(T_1-T_{eq}) = - (T_2-T_{eq}) \frac{m_2 C_2} {m_1 C_1}$

gdzie temperatura końcowa T_eq jest funkcją temperatur początkowych T_1,0 i T_2,0 oraz pojemności cieplnych układów:

$T_{eq}= \frac{T_{1,0} + T_{2,0} \frac{m_2 C_2} {m_1 C_1}}{1 + \frac{m_2 C_2}{m_1 C_1} }$

Stąd:

$\frac{dT_1}{dt} = -\frac{k_{q}}{m_1C_1} (T_1 - T_2) = -\frac k {m_1 C_1} \Delta T$

$\frac{dT_2}{dt} = -\frac{k_q}{m_2 C_2} (T_2 - T_1) = \frac{k}{m_2C_2} \Delta T$

gdzie ΔT jest róznicą temperatur układów "1" i "2":

Δ T = T 1 - T 2

Skąd wynika:

$\frac{d\Delta T}{dt} = -k_{T,12} \Delta T$

gdzie:

$k_{T,12} = k_{q} \left( \frac{1}{m_{1}C_1} + \frac{1}{m_{2}C_2}\right)$

I ostatecznie:

T 1 (t) - T 2 (t) = Δ T (t) = Δ T 0 exp( - k T,12 t)

gdzie ΔT₀ jest początkową różnicą temperatur:

Δ T 0 = Δ T (0) = T 1,0 - T 2,0

oraz:

$T_{1}(t) - T_{eq} = \frac{\frac{m_{2}C_2}{m_{1}C_1} }{1 + \frac{m_2 C_2}{m_1C_1} } \Delta T_{o} \exp(-k_{T,12} t)$

lub

$T_1(t) = T_{eq} + (T_{1,0}-T_{2,0}) \frac{m_{2}C_2}{m_1C_1 + m_{2}C_2} \exp(-k_{T,12} t)$

Wynik końcowy zgodny jest więc (co do charakteru przebiegu eksponencjalnego) z prawem stygnięcia Newtona dla stygnącego układu w kontakcie z otoczeniem o stałej temperaturze. To tłumaczy również sukces tego prostego prawa nawet gdy jego podstawowe założenia nie są spełnione.

[edytuj] Przypadek graniczny - stała temperatura otoczenia

Gdy pojemność układu "2" traktowanego tutaj jako "bezpośrednie otoczenie" jest dużo większa niż pojemność cieplna układu stygnącego:

m 2 C 2 > > m 1 C 1

wówczas temperatura układu "2" (bezpośredniego otoczenia stygnącego układu) pozostaje stała:

$T_{eq} \approx T_{2} \approx T_{2,0}$

oraz:

$\Delta T = T_{1}(t) - T_{2,0} = \Delta T_{0} \exp(-k_{T,1} t)\,$

gdzie współczynnik k_T,1 w równaniu jest tożsamy z wartością k w oryginalnym równaniu eksponencjalnym:

$k_{T,1} = k_{q} \left( \frac{1}{m_{1}C_1} \right) = k$