Wikipedia - Parabola

Wikipedia - kopia Wikipedii, wolnej encyklopedii

Parabola

Parabola to krzywa stożkowa utworzona przez przecięcie stożka płaszczyzną równoległą do tworzącej stożka.

Parabolę można też zdefiniować jako miejsce geometryczne punktów równo odległych od prostej (zwanej kierownicą paraboli) i pewnego punktu (ogniska paraboli) nie leżącego na tej prostej.

[edytuj] Definicje i właściwości

W kartezjańskim układzie współrzędnych, parabola z osią symetrii równoległą do osi y, wierzchołkiem o współrzędnych (h, k), ogniskiem $(h, k + p)$ , i kierownicą $y = k - p$ opisana jest równaniem:

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \,$

lub

$(x - h)^2 = 2d(y - k) \,$

gdzie $d$ jest odległością pomiędzy ogniskiem a kierownicą.

Parabola ma jedną oś symetrii, która przechodzi przez ognisko i wierzchołek i jest prostopadła do kierownicy paraboli.

Tor lotu ciała poruszajacego się bez oporu powietrza, ukośnie do linii sił jednorodnego pola grawitacyjnego jest parabolą. Po uwzględnieniu oporu powietrza otrzymujemy balistyczny tor lotu pocisku. Lustra o przekroju paraboli nie posiadają wady aberracji sferycznej przy odbijaniu dostatecznie dalekich obiektów (równoległe promienie światła po odbiciu od lustra skupiają się w ognisku paraboli).

Właściwości odbijania promieni oraz ognisko (niebieskie) i kierownica (zielona)

[edytuj] Równania

[edytuj] Współrzedne kartezjańskie

Pionowa oś symetrii:

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \quad$

Pozioma oś symetrii:

$(y - h)^2 = 4p(x - k) \quad$

Równanie kwadratowe (pionowa oś symetrii):

$y = ax^2 + bx + c; \ \ a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k$

Równanie kwadratowe (pozioma oś symetrii):

x = a y 2 + b y + c

a, b, i c tak jak powyżej.

[edytuj] Parametryczne

$x = 2pt + h \,$

$y = pt^2 + k \,$

[edytuj] Współrzędne biegunowe

We współrzędnych biegunowych, parabola z ogniskiem w punkcie (0,0) i wierzchołkiem leżącym na ujemnej części osi X (pozioma oś symetrii) opisana jest równaniem:

$r (1 - \cos \theta) = l \,$

[edytuj] Ognisko

Parabola o wierzchołku w punkcie $(0,0)$ i pionowej osi symetrii, której punkty spełniają równanie

y = a x 2

ma ognisko w punkcie $\left(0, {1 \over 4 a }\right)$ .

Wszystkie promienie światła padające na parabolę z góry, równolegle do osi symetrii po odbiciu się od niej skupiają się właśnie w ognisku.

[edytuj] Zobacz też