Wikipedia - Sumowanie

Wikipedia - kopia Wikipedii, wolnej encyklopedii

Spis treści

1 Dodawanie liczb
2 Suma funkcji
3 Dodawanie modulo
4 Dodawanie odcinków
5 Dodawanie wektorów
6 Dodawanie liczb kardynalnych
7 Dodawanie jako działanie w strukturze algebraicznej
- 7.1 Element neutralny i przeciwny
8 Powiązane działania
9 Zobacz też

Dodawanie jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Obiekty dodawane to składniki, wynik dodawania nazywa się sumą. Dodawanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem plusa $+\;$ .

[edytuj] Dodawanie liczb

Najczęściej stosowane jest dodawanie liczb, np. $12+23=35\;$ .

[edytuj] Dodawanie pisemne liczb naturalnych

Aby dodać dwie liczby na kartce, stosuje się sposób pisemny. Poniżej podany jest przykład obliczenia sumy dwóch, trzycyfrowych liczb: $653\;$ i $274.\;$ Piszemy drugą liczbę pod pierwszą, a cyfry ustawiamy w kolumnach wyrównując je do prawej; pod drugą liczbą rysujemy linię:

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix} \end{matrix}$

Cyfrą jedności $653\;$ jest $3;\;$ cyfrą jedności $274\;$ jest $4;\;$
$3+4=7,\;$ więc na pozycji jedności pod kreską piszemy $7:\;$

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix} \\ \;\;\begin{matrix} \ & \ & \ & 7\end{matrix} \end{matrix}$

Cyfrą dziesiątek $653\;$ jest $5;\;$ cyfrą dziesiątek $274\;$ jest $7;\;$
$5+7=12;\;$ piszemy $2\;$ pod kreską na kolejnym od prawej miejscu, a $1\;$ przenosimy do kolumny setek:

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & 1 & \ & \ \\ \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix} \\ \;\begin{matrix} \ & \ & 2 & 7\end{matrix} \end{matrix}$

Pozostała kolumna setek: dodajemy $1+6+2\;$ z trzeciej kolumny otrzymując $9,\;$ piszemy $9\;$ w kolumnie setek pod kreską:

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & \ 1 & \ \\ \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix} \\ \;\;\begin{matrix} \ & 9 & 2 & 7\end{matrix} \end{matrix}$

otrzymując wynik $653 + 274 = 927.\;$

Ten sam algorytm może służyć do dodawania liczb w dowolnym systemie pozycyjnym.

Dodając pisemnie wiele liczb ("podliczanie słupków") wygodnie jest dodać osobno jednostki, dziesiątki, setki, itd., napisać wyniki (odpowiednio przesunięte) jeden pod drugim i ponownie zsumować. Pozwala to w przypadku pomyłki powtarzać tylko część obliczeń:

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & \ & \ \\ \ & \ & 1 & 2 & 3 \\ + & \ & 1 & 9 & 5 \\ + & \ & \ & 1 & 8 \\ + & \ & 3 & 4 & 7 \\ + & \ & 1 & 1 & 6 \\ + & \ & \ & 2 & 1 \\ + & \ & 8 & 2 & 3 \end{matrix}\\ \underline\begin{matrix} \ & \ & \ & 3 & 3 \\ + & \ & 2 & 1 & \ \\ + & 1 & 4 & \ & \ \end{matrix} \\ \;\begin{matrix} \ & 1 & 6 & 4 & 3\end{matrix} \end{matrix}$

[edytuj] Dodawanie liczb całkowitych

Możliwe są trzy przypadki, różniące się znakiem dodawanych liczb:

Jeśli obydwie są dodatnie, dodajemy je tak jak liczby naturalne powyżej.
Jeśli obydwie są ujemne $(-a\;$ i $-b),\;$ to należy dodać ich wartości bezwzględne i zmienić znak: $(-a)+(-b)=-(a+b)\;$ .
Jeśli jedna liczba jest dodatnia $(a)\;$ a druga ujemna $(-b)\;$ to dodawanie sprowadza się do odejmowania ich wartości bezwzględnych: $a+(-b)=a-b\;$ . Należy tu pamiętać, że jeśli $a<b\;$ , to, żeby obliczyć $a-b\;$ , obliczamy $b-a\;$ i bierzemy otrzymany wynik ze znakiem "minus": $a-b=-(b-a)\;$ .
Jeśli jedna z liczb jest zerem, suma jest równa drugiemu składnikowi.

[edytuj] Dodawanie ułamków

Dla liczb wymiernych $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ dodawanie wymaga najpierw tzw. sprowadzenia do wspólnego mianownika, czyli takiego przekształcenia tych ułamków, aby ich mianowniki były równe.

Wówczas można zastosować wzór:

$\frac{k}{m}+\frac{l}{m}=\frac{k+l}{m}$

Najmniejszym wspólnym mianownikiem, jaki można tu zastosować, jest najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników dodawanych ułamków.

Przykład:

$\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3\times 3}{4\times 3}+\frac{1\times 2}{6\times 2}=\frac{9}{12}+\frac{2}{12}=\frac{9+2}{12}=\frac{11}{12}$

Można też wykorzystać fakt, że sprowadzenie do wspólnego mianownika można wykonać mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego. Dodawanie sprowadza się wtedy do wzoru:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{db}=\frac{ad+cb}{bd}$

Przykład:

$\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3\times 6}{4\times 6}+\frac{1\times 4}{6\times 4}=\frac{3\times 6+1\times 4}{4\times 6}=\frac{22}{24}=\frac{11}{12}$

W przypadku dodawania pisemnego ułamków dziesiętnych należy przesunąć dodawane liczby tak, aby przecinek dziesiętny był w tym samym miejscu:

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & \ & \ \\ \ & 1 & 2, & 5 & \ \\ + & \ & 5, & 8 & 1 \end{matrix} \\ \;\;\begin{matrix} \ & 1 & 8, & 3 & 1\end{matrix} \end{matrix}$

[edytuj] Definicja formalna

Liczby naturalne na ogół definiuje się na jeden z dwóch sposobów: przez użycie liczb kardynalnych i przez aksjomatykę Peano (zob. aksjomaty i konstrukcje liczb#Liczby naturalne). W pierwszym przypadku dodawanie liczb naturalnych to nic innego jak dodawanie liczb kardynalnych, a w drugim dodawanie definiuje się indukcyjnie:

$a+1=a^\prime$
$a+b^\prime=(a+b)^\prime$

gdzie $a^\prime$ jest następnikiem liczby $a\;$ .

Działanie dodawania można krok po kroku definiować dla każdego rodzaju liczb:

dodawanie dwóch liczb całkowitych $a-b\;$ i $c-d\;$ (gdzie $a,b,c,d\in\mathbb{N}$ określone jest wzorem

$(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)\;$ ;

dodawanie dwóch liczb wymiernych określone jest wzorem

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\;$ (w ogólności wzór ten jest definicją dodawania w dowolnym ciele ułamków);

dodawanie dwóch liczb rzeczywistych jest określone następująco: jeżeli $a_n\;$ jest ciągiem Cauchy'ego liczb wymiernych zbieżnym do $A\;$ , a $b_n\;$ jest zbieżnym do $B\;$ , to ciąg $c_n=a_n+b_n\;$ jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do $C=A+B\;$ ;
dodawanie dwóch liczb zespolonych określone jest wzorem

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\;$ ;

dodawanie dwóch kwaternionów określone jest wzorem

$(a+bi+cj+dk)+(p+qi+rj+sk)=(a+p)+(b+q)i+(c+r)j+(d+s)k\;$ .

[edytuj] Własności sumy wynikające z własności składników

Składnik	Składnik	Suma
parzysty	parzysty	parzysta
nieparzysty	nieparzysty	parzysta
parzysty	nieparzysty	nieparzysta
naturalny	naturalny	naturalna
całkowity	całkowity	całkowita
całkowity	niecałkowity	niecałkowita
wymierny	wymierny	wymierna
wymierny	niewymierny	niewymierna
dodatni	dodatni	dodatnia
ujemny	ujemny	ujemna
algebraiczny	algebraiczny	algebraiczna
algebraiczny	przestępny	przestępna
rzeczywisty	rzeczywisty	rzeczywista
zespolony	zespolony	zespolona

[edytuj] Zapis oraz liczba składników

Dodawanie zwyczajowo oznacza się symbolem $+\;$ , na przykład: $2 + 2 = 4\;$ .

Zwykle jest ono rozpatrywane jako działanie dwuargumentowe, można jednak dodawać też mniej niż dwie liczby:

sumą zawierającą jeden składnik $x\;$ jest $x\;$ ;
sumą zawierającą zero składników jest liczba zero, ponieważ liczba zero jest elementem neutralnym dodawania.

Sumę $a+b+c\;$ można rozumieć jako $(a+b)+c\;$ lub $a+(b+c)\;$ . Obydwa te wyrażenia są równoważne, gdyż dodawanie jest łączne.

Jeżeli sumujemy wiele składników, wygodnie jest stosować uproszczone zapisy, takie jak wielokropki: $1 + 2 + \dots + n$ .

Nieskończone sumy liczb bądź funkcji są nazywane szeregami, np. $1+ \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots$ jest szczególnym przypadkiem szeregu geometrycznego. Są one ważnym przedmiotem badań analizy matematycznej. Niektóre typowe prawa dodawania nie są tu spełnione, np. zmiana kolejności składników szeregu nieskończonego może zmienić jego sumę.

Gdy rozważa się skomplikowane sumy, stosuje się także zapis z grecką dużą literą sigma:

$\sum\limits_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+a_3+\dots+a_n$

czytany "suma składników postaci $a_i\;$ rozciągnięta na wszystkie wskaźniki $i\;$ od $1\;$ do $n\;$ ".

Analogicznie można zapisywać szeregi:

$\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 1.$

Suma nie musi rozpoczynać się od 1, może rozpoczynać się od dowolnej całkowitej liczby (a także od $-\infty\;$ przy zapisywaniu szeregów "od końca").

Notację sigma można uogólnić, gdy dany jest dowolny warunek logiczny dotyczący wskaźnika, np.:

$\sum\limits_{0\le x< n} f(x)\;$ jest sumą składników postaci $f(x)\;$ dla każdego całkowitego $x\;$ w pewnym przedziale

$\sum\limits_{x\in S} f(x)\;$ jest sumą składników postaci $f(x)\;$ dla każdego $x\in S\;$ (niekoniecznie całkowitego)

$\sum\limits_{d|n}\;\mu(d)\;$ jest sumą wszystkich $\mu(d)\;$ dla każdego całkowitego $d\;$ dzielącego $n\;$
$\sum\limits_{R(x)} f(x)\;$ gdzie $R(x)\;$ jest dowolną relacją zależną od $x\;$ .

Możliwe jest także używanie sigmy do zapisywania sum podwójnych.

Analogiczne zapisy można stosować przy mnożeniu. Zamiast dużej litery sigma, stosowana jest wtedy duża litera pi: $\prod\;$

[edytuj] Przybliżanie całkami oznaczonymi

Dla dowolnej rosnącej funkcji $f\;$ zachodzi następująca zależność między całkami a sumami:

$\int\limits_{s=a-1}^{b} f(s)\, ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int\limits_{s=a}^{b+1} f(s)\, ds.$

[edytuj] Wzory sumacyjne

Zobacz w Wikiźródłach tekst
Sumy

$\sum_{i=1}^n x = nx$
$\sum_{i=m}^n i = \frac{(n-m+1)(n+m)}{2}$
$\sum_{i=0}^n i = \frac {n(n+1)}{2}$ (suma ciągu arytmetycznego)
$\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$
$\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}$

gdzie

B k

jest k-tą liczbą Bernoulliego.

$\sum_{i=m}^n x^i = \frac{x^{n+1}-x^{m}}{x-1}$ (patrz szereg geometryczny)
$\sum_{i=0}^n x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ (szczególny przypadek poprzedniego wzoru dla m = 0)
$\sum_{i=0}^n kx^{k-1} = \frac{1-(n+1)x^n + n x^{n-1}}{(x-1)^2}$
$\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n$ (patrz dwumian Newtona)
$\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}$
$\left(\sum_i a_i\right)\left(\sum_j b_j\right) = \sum_i\sum_j a_ib_j$ (prawo rozdzielności dla iloczynu sum, prawdziwe dla sum skończonych i szeregów bezwzględnie zbieżnych)
$\sum\limits_{R(i)} a_i = \sum\limits_{R(j)} a_j = \sum\limits_{R(p(j))} a_{p(j)}$ (zamiana zmiennych)
$\sum\limits_{R(i)} \sum\limits_{S(j)} a_{ij} = \sum\limits_{S(j)} \sum\limits_{R(i)} a_{ij}$ (zamiana kolejności sumowania)
$\sum\limits_{R(j)} a_j + \sum\limits_{S(j)} a_j = \sum\limits_{R(j) \; \scriptstyle{lub} \; S(j)} a_j + \sum\limits_{R(j) \; \scriptstyle{i} \; S(j)} a_j$ (manipulacja dziedziną)
$\left(\sum_i a_i\right)^2 = 2\sum_i\sum_{j<i} a_ia_j + \sum_i a_i^2$

[edytuj] Suma funkcji

Sumę funkcji $f,g\colon X\to Y$ , gdzie $Y\;$ jest pewnym zbiorem ze zdefiniowanym działaniem dodawania (np. grupą czy, w szczególności, przestrzenią liniową) definiuje się jako

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\;$ dla wszystkich $x\in X\;$ .

Przykłady użycia:

Traktując macierze jako funkcje można określić w ten sposób działanie dodawania macierzy. Aby dodać dwie macierze wystarczy dodać ich elementy.
Traktując ciągi jako funkcje można określić dodawanie ciągów.
Traktując wielomiany (właściwie funkcje wielomianowe) jako funkcje rzeczywiste $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ otrzymujemy analogiczną definicję dodawania, używaną w analizie matematycznej.
Traktując wielomiany jako ciągi współczynników (np. zapisując $3x^2+x+5\;$ jako $(5, 1, 3, 0, 0, \dots)$ ) otrzymuje się definicję sumy wielomianów używaną w algebrze abstrakcyjnej; aby dodać dwa wielomiany należy dodać ich współczynniki. Definicję tę rozszerza się w oczywisty sposób na pierścień szeregów formalnych.

[edytuj] Dodawanie modulo

Działanie dodawania można określić w pierścieniu Z_n.

Dodawanie modulo polega na obliczaniu reszty z dzielenia sumy liczb. Przykład: w zbiorze $Z_5\;$ zachodzi:

$0+1\equiv 1 \pmod 5\;$

$2+3\equiv 0 \pmod 5\;$

$4+4\equiv 3 \pmod 5\;$

Dodawanie modulo można też określić dla liczb rzeczywistych, np. w geometrii suma dwóch kątów skierowanych ma miarę równą sumie ich miar modulo $2\pi\;$ .

[edytuj] Dodawanie odcinków

Dodawanie odcinków o długościach $a\;$ i $b\;$ polega na wykreśleniu odcinka o długości $a+b\;$ .

[edytuj] Dodawanie wektorów

Zobacz więcej w osobnym artykule: Suma wektorów.

Dodawanie wektorów polega na dodawaniu ich współrzędnych. Wektory można dodawać algebraicznie lub geometrycznie (używając reguły trójkąta lub reguły równoległoboku)

Gdy $a\;$ jest punktem oraz $b\;$ jest wektorem to sumę $a+b\;$ należy rozumieć jako translację punktu $a\;$ o wektor $b\;$ . Wówczas składniki sumy nie są sobie równoważne ( $b\;$ jest wektorem i odpowiada przemieszczeniu, a $a\;$ jest punktem) i $a\;$ nazywa się dodajną, a $b\;$ – dodajnikiem. Nomenklatura ta jest jednak rzadko spotykana.

[edytuj] Dodawanie liczb kardynalnych

Zobacz więcej w osobnym artykule: Arytmetyka liczb kardynalnych.

Działanie dodawania można zdefiniować dla dowolnych liczb kardynalnych używając sumy (rozłącznych) zbiorów o mocy, której odpowiadają sumowane liczby.

[edytuj] Dodawanie jako działanie w strukturze algebraicznej

Zwykle określenie to jest używane do określenia dodawania liczb lub funkcji dających w wyniku liczby, takich jak wielomiany.

Istnieje wiele innych struktur algebraicznych w których określa się dodawanie. Jest to działanie dwuargumentowe, które spełnia aksjomaty przyjętej struktury. Gdy rozważa się struktury algebraiczne (pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe) to jest ono dowolnym, abstrakcyjnym działaniem spełniającym pewne założenia, takie jak łączność czy istnienie elementu neutralnego. Czasem dla odróżnienia od zwykłego dodawania liczb stosuje się wtedy inny podobny znak, np. $\oplus\;$ .

We wspomnianych wyżej strukturach algebraicznych dodawanie jest działaniem przemiennym, łącznym, a także rozdzielnym względem mnożenia (oczywiście w przypadku przestrzeni liniowej jest to rozdzielność względem mnożenia wektora przez skalar).

Równości i kongruencje można dodawać stronami:

jeżeli $a=b\;$ i $c=d\;$ to $a+c=b+d\;$
jeżeli $a \equiv b \pmod n\;$ i $c \equiv d \pmod n\;$ to $a+c \equiv b+d \pmod n\;$

[edytuj] Element neutralny i przeciwny

Element neutralny względem dodawania oznacza się symbolem $0$ zwanym: zero.

Jeżeli $a\;$ jest elementem zbioru ze zdefiniowanym działaniem dodawania, to element $b\;$ taki, że $a + b = 0\;$ , nazywa się elementem przeciwnym i oznacza symbolem $\ -a\;$ . Własność zbioru polegającą na tym, że dla każdego elementu istnieje element przeciwny, nazywamy istnieniem odejmowania. We wspomnianych strukturach algebraicznych element przeciwny jest wyznaczony jednoznacznie.

[edytuj] Powiązane działania

operacja następnika dla liczb kardynalnych i porządkowych;
mnożenie – dla liczb naturalnych: wielokrotne dodawanie;
konkatenacja – łączenie (dodawanie) ciągów skończonych;
odejmowanie – działanie odwrotne do dodawania;
całkowanie – daje się wyobrazić jako "dodawanie wielkości nieskończenie małych";
dodawanie bez przeniesienia (w obliczeniach binarnych XOR, w logice alternatywa wykluczająca, w teorii mnogości różnica symetryczna);
suma (w przypadku zbiorów) i alternatywa (w przypadku zdań) – odpowiedniki dodawania w algebrach Boole'a; suma zbiorów może odnosić się także do sumy zdarzeń (w rachunku prawdopodobieństwa) oraz sumy figur geometrycznych.

Uwaga: działanie sumy prostej (np. dla przestrzeni) jest wbrew nazwie bardziej związane z iloczynem kartezjańskim niż z sumą.

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki