Ten artykuł dotyczy pojęcia nauk ścisłych. Zobacz też: wektor (ujednoznacznienie).

Ilustracja wektora

Wektor z A do B

Wektor – obiekt geometryczny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce mający wartość (długość), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go jako odcinek o określonym kierunku, lub graficznie jako strzałkę, łączący początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

.

Wartość wektora przedstawiana jest jako długość odcinka, a kierunek opisuje przesunięcie B względem A – jak bardzo powinno się przesunąć punkt A, aby „przenieść” go do punktu B^[1].

Wiele działań algebraicznych na liczbach rzeczywistych ma swoje odpowiedniki dla wektorów: mogą być one dodawane odejmowane, mnożone przez liczbę i odwracane. Operacje te spełniają znane prawa algebraiczne: przemienności, łączności, rozdzielności (odejmowanie traktowane jest jako szczególny przypadek dodawania). Suma dwóch wektorów o tym samym początku może być znaleziona geometrycznie za pomocą reguła równoległoboku. Mnożenie przez liczbę dodatnią, w tym kontekście nazywaną zwykle skalarem, zmienia wartość wektora, tzn. rozciąga go lub ściska zachowując jego kierunek oraz zwrot, a mnożenie przez − 1 zachowuje wartość, lecz zmienia zwrot wektora.

Współrzędne kartezjańskie są spójnym środkiem opisu wektorów i operacji na nich. Wektor staje się krotką liczb rzeczywistych nazywanymi składowymi skalarnymi. Dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar są wykonywane składowa po składowej, zobacz wektor współrzędnych.

Wektory odgrywają ważną rolę w fizyce: prędkość oraz przyspieszenie poruszającego się obiektu oraz siła działająca na ciało mogą być opisane za pomocą wektorów. Wiele innych wielkości fizycznych może być rozpatrywanych jako wektory. Matematyczna reprezentacja wektora fizycznego zależy od układu współrzędnych wykorzystanego do jego opisu. Inne obiekty podobne wektorom, które opisują wielkości fizyczne i ulegają przekształceniom w podobny sposób wraz ze zmianą układu współrzędnych to pseudowektory i tensory.

[edytuj] Ogólne

W tym kontekście wektor to obiekt geometryczny charakteryzowany przez wartość (w matematyce liczbę, a w fizyce liczba pomnożona przez jednostkę) oraz kierunek wraz ze zwrotem, przedstawiana często graficznie jako strzałka. Jeżeli obiekty tego typu należy wyróżnić spośród wektorów definiowanych gdzie indziej, to nazywane są one niekiedy wektorami geometrycznymi, przestrzennymi lub euklidesowymi.

Wektor może być postrzegany jako strzałka w przestrzeni euklidesowej, która ma określony punkt początkowy i końcowy. Takie wektory nazywa się wektorami zaczepionymi. W sytuacjach, gdy znaczenie ma tylko wartość i kierunek (ze zwrotem) wektora, punkt początkowy (punkt zaczepienia) nie jest istotny. Wektor taki nazywa się wtedy wektorem swobodnym. Tak więc dwie strzałki oraz w przestrzeni przedstawiają ten sam wektor swobodny, jeżeli maja tę samą wartość oraz kierunek i zwrot, równoważnie: są one uważane za tożsame, jeżeli czworokąt ABDC jest równoległobokiem. Jeśli przestrzeń euklidesowa ma wyróżniony początek, to wektor swobodny jest równoważny wektorowi zaczepionemu o tej samej wartości i kierunku (oraz zwrocie), jeżeli jego punkt zaczepienia jest początkiem przestrzeni.

Pojęcie wektora uogólnia się na większą liczbę wymiarów i w bardziej formalnych podejściach o wiele szerszych zastosowaniach. Takie uogólnienia można znaleźć w innych artykułach, zobacz sekcję zobacz też oraz odnośniki w poniższym tekście.

[edytuj] Przykłady jednowymiarowe

Siła określona jako „15 N w prawo” ma współrzędną 15 N, o ile wektor bazowy skierowany jest w prawo oraz −15 N, jeżeli wektor bazowy skierowany jest w lewo. Wartość wektora wynosi w obu przypadkach 15 N. Przemieszczenie określone jako „4 m w prawo” ma współrzędną 4 m, jeśli wektor bazowy skierowany jest w prawo i −4 m, gdy wektor bazowy skierowany jest w lewo. W obu przypadkach wartość wektora wynosi 4 m. Praca wykonana przez siłę przy tym przemieszczeniu wynosi w obu przypadkach 60 J.

[edytuj] Fizyka i inżynieria

Wektory są podstawowymi pojęciami w naukach fizycznych. Mogą być wykorzystane do reprezentowania dowolnej wielkości mającej wartość i kierunek, takiej jak prędkość, której wartością jest szybkość. Przykładowo prędkość 5 metrów na sekundę w górę może być przedstawiona jako wektor (0,5) (w przestrzeni dwuwymiarowej, gdzie oś y skierowana jest w „górę”). Inną wielkością reprezentowaną przez wektor jest siła, ponieważ ma wartość i kierunek (ze zwrotem). Wektory mogą również opisywać wiele innych wielkości fizycznych takich jak przemieszczenie, przyspieszenie, pęd oraz kręt. Inne wektory fizyczne, takie jak pole elektryczne, czy magnetyczne, są reprezentowane przez układ wektorów skojarzonych z każdym punktem przestrzeni fizycznej, to jest pole wektorowe.

[edytuj] Przestrzeń kartezjańska

Zobacz więcej w osobnym artykule: przestrzeń kartezjańska.

W układzie współrzędnych kartezjańskich wektor może być przedstawiony poprzez wskazanie współrzędnych punktów początkowego i końcowego. Przykładowo, punkty A = (1,0,0) oraz B = (0,1,0) w przestrzeni określają wektor swobodny wskazujący z punktu x = 1 na osi x do punktu y = 1 na osi y.

Zwykle we współrzędnych kartezjańskich rozważa się wektory zaczepione. Wektor zaczepiony określony jest przez współrzędne jego punktu końcowego, gdyż jego punkt początkowy zawsze jest początkiem układu O = (0,0,0). Stąd wektor zaczepiony reprezentowany przez (1,0,0) jest wektorem długości jednostkowej wskazującym od początku w kierunku dodatnim osi x.

Reprezentacja wektorów za pomocą współrzędnych umożliwia wyrażenie cech algebraicznych wektorów w dogodny liczbowy sposób. Przykładowo sumą wektorów (1,2,3) oraz ( − 2,0,4) jest wektor

(1,2,3) + ( − 2,0,4) = (1 − 2,2 + 0,3 + 4) = ( − 1,2,7).

[edytuj] Wektory euklidesowe i afiniczne

W geometrii i fizyce można czasami w naturalny sposób przypisać do wektora długość (wartość) oraz kierunek. Okazuje się, że pojęcie kierunku jest ściśle związane z pojęciem kąta między dwoma wektorami. Jeżeli określona jest długość wektorów, to można również określić iloczyn skalarny – iloczyn dwóch wektorów o wartości skalarnej – który daje wygodną charakteryzację algebraiczną tak długości (pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora przez siebie), jak i kąta (funkcja iloczynu skalarnego między dowolnymi dwoma wektorami). W trzech wymiarach można określić dodatkowo iloczyn wektorowy, który dostarcza algebraicznej charakteryzacji pola i orientacji w przestrzeni równoległoboku wyznaczonego za pomocą dwóch wektorów (będących jego bokami).

Nie zawsze jest jednak możliwe lub pożądane określenie długości wektora w naturalny sposób. Uogólnienie tego typu wektorów przestrzennych jest elementem przestrzeni liniowych/wektorowych (wektorów zaczepionych) i przestrzeni afinicznych (wektorów swobodnych).

[edytuj] Uogólnienia

W fizyce, jak i matematyce, wektor jest często utożsamiany z krotką, czyli listą liczb, która uzależniona jest od pewnego pomocniczego układu współrzędnych lub układu odniesienia (ang. reference frame). Jeżeli współrzędne są przekształcane, np. poprzez obrót lub rozciąganie, to składowe wektora również ulegają przekształceniu. Sam wektor nie zmienia się, lecz zmienia się jego układ odniesienia, tak więc jego składowe (czyli miary wzięte względem danego układu odniesienia) również muszą się zmienić, aby odzwierciedlić wspomnianą zmianę. Wektor nazywany jest kowariantym bądź kontrawariantnym w zależności od wzajemnego wpływu na siebie przekształcenia składowych wektora oraz przekształcenia współrzędnych. Zobacz kowariancja i kontrawariancja wektorów. Tensory są kolejnym rodzajem wielkości zachowującym się w ten sposób; w rzeczywistości wektor jest szczególnym przypadkiem tensora.

W czystej matematyce wektor to dowolny element przestrzeni wektorowej (liniowej) nad pewnym ciałem, który często przedstawiany jest jako wektor współrzędnych. Wektory opisane w tym artykule są szczególnym przypadkiem tej definicji, ponieważ są kontrawariantne względem otaczającej przestrzeni. Pojęcie kontrawariancji ujmuje intuicję fizyczną stojącą za ideą wektora mającego „wartość i kierunek”.

[edytuj] Reprezentacje

Wektory oznaczane są zwykle pogrubioną małą literą, np. , czasami dodatkowo pochyloną, np. (dużymi literami oznacza się często macierze). Inne konwencje obejmują przypadki lub , szczególnie przy piśmie odręcznym. Niekiedy korzysta się z tyldy (~) lub falistego podkreślenia pod symbolem, które są konwencją oznaczania pogrubienia. Jeżeli wektor reprezentuje skierowaną odległość lub przemieszczenie z punktu A do B (zob. rysunek), to oznacza się go czasami jako lub . Z symbolu daszka (^) korzysta się zwykle do oznaczenia wersorów (wektorów jednostkowych, czyli wektorów o długości jednostkowej), np. .

Wektory przedstawia się zwykle na wykresach czy diagramach jako strzałki (skierowane odcinki), jak pokazano na rysunku. Tutaj punkt A nazywany jest początkiem, ogonem, podstawą, punktem zaczepienia lub punktem początkowym; punkt B nazywa się głową, końcem, punktem końcowym. Długość strzałki jest proporcjonalna do wielkości wektora, a kierunek wskazywany przez strzałkę określa kierunek (i zwrot) wektora.

Niekiedy konieczne jest zaznaczenie wektora prostopadłego do płaszczyzny dwuwymiarowego diagramu. Wektory te przedstawia się za pomocą małych okręgów. Okrąg z kropką w środku (Unicode U+2299 ⊙) oznacza wektor wskazujący przed diagram, w kierunku widza. Kółko z wpisanym w niego krzyżykiem (Unicode U+2297 ⊗) oznacza wektor wskazujący za diagram, w kierunku od widza. O symbolach tych można myśleć jak o oglądaniu ostrza grotu strzały od przodu oraz oglądaniu lotki strzały od tyłu.

Wektor na płaszczyźnie kartezjańskiej przedstawiający położenie punktu A o współrzędnych (2, 3).

Reprezentacja wektorowa bwya nieporęczna przy prowadzeniu obliczeń za pomocą wektorów. Wektory w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej mogą być przedstawione w układzie współrzędnych kartezjańskich. Punkt końcowy może być utożsamiony z uporządkowaną listą n liczb rzeczywistych (n-tką). Przykładowo w dwóch wymiarach (zob. rysunek) wektor z początku O = (0,0) do punktu A = (2,3) zapisuje się zwykle jako

.

Domyślnie przyjmuje się, że punkt zaczepienia wektora pokrywa się w tym wypadku z początkiem, dlatego też wyraźne zaznaczenie punktu zaczepienia w uważa się za zbędne i rzadko się z niego korzysta.

W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej (lub ) wektory utożsamiane są są trójkami liczb odpowiadającym współrzędnym kartezjańskim punktu końcowego (a,b,c),

.

Liczby te układa się często w wektor kolumnowy lub wektor wierszowy, w szczególności jeżeli rozpatruje się dodatkowo macierze, np.:

,

.

Innym sposobem zapisu wektora trójwymiarowego jest wprowadzenie trzech wektorów bazy standardowej:

.

Mają one intuicyjną interpretację wektorów długości jednostkowej wskazujących odpowiednio w kierunku rosnącym osi x, y oraz z układu współrzędnych kartezjańskich, czasami określa się je jako wersory tych osi. Za ich pomocą można przedstawić dowolny wektor z w postaci:

.

Niekiedy w nauczaniu początkowym fizyki te trzy szczególne wektory są oznaczane jako (bądź ), ale taki zapis koliduje z konwencją sumacyjną wykorzystywaną w wyższych matematyce i fizyce oraz inżynierii.

Wykorzystanie wersorów kartezjańskich, takich jak , jako bazy w której wyrażony jest wektor nie jest obowiązkowe. Wektory można również przedstawić za pomocą walcowych wektorów jednostkowych lub sferycznych wektorów jednostkowych . Dwa ostatnie sposoby są dogodniejsze podczas rozwiązywania problemów mających odpowiednio symetrię cylindryczną, bądź sferyczną.

[edytuj] Podstawowe własności

W tej sekcji wykorzystywany jest układ współrzędnych kartezjańskich z wektorami bazowymi

,

przy czym przyjmuje się, że wszystkie wektory mają początek układu za wspólny punkt zaczepienia. Wektor będzie zapisywany jako

.

[edytuj] Równość

Dwa wektory są równe, jeżeli mają równe wartości i kierunki (wraz ze zwrotami). Równoważnie będą one równe, jeśli odpowiadające współrzędne tych wektorów będą równe. Tak więc dwa wektory

.

oraz

.

są równe, jeżeli

.

[edytuj] Dodawanie i odejmowanie

Suma wektorów oraz to wektor dany wzorem

.

Dodawanie może być przedstawione graficznie jako umieszczenie punktu początkowego strzałki w punkcie końcowym strzałki , a następnie narysowanie strzałki od punktu początkowego do punktu końcowego . Narysowana strzałka przestawia wektor jak pokazano niżej:

Ta metoda dodawania nazywana jest niekiedy regułą równoległoboku, ponieważ i są bokami równoległoboku, a jest jedną z jego przekątnych. Jeżeli i są wektorami zaczepionymi o tym samym punkcie zaczepienia, to bedzie on również punktem zaczepienia . Można sprawdzić geometrycznie, iż oraz .

Różnica i dana jest jako

.

Odejmowanie dwóch wektorów może być zdefiniowane geometrycznie w następujący sposób: aby odjąć od należy umieścić końce i w tym samym punkcie, a następnie narysować strzałkę od punktu końcowego do punktu końcowego . Strzałka ta reprezentuje wektor jak pokazano niżej:

[edytuj] Mnożenie przez skalar

Wektor może być również pomnożony lub przeskalowany za pomocą liczby rzeczywistej r. W kontekście standardowej algebry wektorów liczby te nazywane są często skalarami (od skalowania), aby odróżnić je od wektorów. Działanie mnożenia wektora przez skalar nazywane jest czasem mnożeniem skalarnym. Wektor wynikowy to

.

Mnożenie skalarne wektora o współczynniku 3 rozciąga wektor.

Intuicyjnie mnożenie przez skalar r rozciąga wektor o współczynnik równy r. Geometrycznie może to być przedstawione (przynajmniej w przypadku, gdy r jest całkowite) przez umieszczenie r kopii wektora w linii tak, by punkt końcowy jednego wektora był punktem początkowym kolejnego.

Jeżeli r jest ujemne, to zmienia się kierunek (zwrot) wektora: obraca się on o kąt 180°. Niżej znajdują się dwa przykłady (dla r = − 1 i r = 2):

Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów następującym sensie:

dla dowolnych wektorów oraz wszystkich skalarów r.

Można pokazać, że .

[edytuj] Długość

Długość, wartość lub norma wektora oznaczana jest symbolem lub rzadziej , której nie powinno się mieszać z wartością bezwzględną („normą” skalarną).

Długość wektora może być obliczona za pomocą normy euklidesowej,

,

co jest konsekwencją twierdzenia Pitagorasa, ponieważ wektory bazowe są ortogonalnymi wektorami jednostkowymi.

Okazuje się, że jest ona równa pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu skalarnego wektora przez siebie:

.

[edytuj] Iloczyn skalarny

Zobacz więcej w osobnym artykule: iloczyn skalarny.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów oraz (czasami nazywany iloczynem wewnętrznym) oznaczany symbolem określony jest jako:

,

gdzie θ jest rozwartością kąta między a (zob. funkcje trygonometryczne, aby uzyskać wyjaśnienie cosinusa). Geometrycznie oznacza to, że oraz są kreślone z tego samego punktu początkowego, a następnie długość jest mnożona przez długość składowej wskazującej w tym samym kierunku, co .

Iloczyn skalarny może być zdefiniowany również jako suma iloczynów składowych każdego wektora jak następuje:

.

[edytuj] Wektor jednostkowy

Zobacz więcej w osobnym artykule: wersor.

Wektor jednostkowy lub wersor to dowolny wektor o długości jeden; zwykle korzysta się z nich do wskazywania kierunku (zwrotu). Wektor dowolnej długości może być podzielony przez jego długość tak, by stał się wektorem jednostkowym. Operacja ta znana jest jako normalizowanie bądź normalizacja wektora. Wektor jednostkowy oznaczany jest często za pomocą daszka, np. .

Normalizowanie wektora a do wektora jednostkowego â

Aby znormalizować wektor należy przeskalować go przez odwrotność jego długości , tzn.

[edytuj] Wektor zerowy

Zobacz więcej w osobnym artykule: wektor zerowy.

Wektor zerowy to wektor o długości zero. Zapisany za pomocą współrzędnych ma postać (0,0,0). Zapisuje się go zwykle jako , lub po prostu 0. W przeciwieństwie do pozostałych wektorów nie ma on kierunku i nie może być znormalizowany (to znaczy nie ma wektora jednostkowego, który byłby wielokrotnością wektora zerowego). Suma wektora zerowego i dowolnego wektora wynosi , tzn. .

[edytuj] Iloczyn wektorowy

Zobacz więcej w osobnym artykule: iloczyn wektorowy.

Iloczyn wektorowy (nazywany również iloczynem zewnętrznym, ang. outer product) ma sens jedynie w trzech wymiarach. Różni się on od iloczynu skalarnego głównie tym, że wynikiem iloczynu wektorowego dwóch wektorów jest wektor. Iloczyn wektorowy jest wektorem prostopadłym tak do jak i do i jest zdefiniowany jako

,

gdzie θ jest rozwartością kąta między oraz , a jest wektorem jednostkowym prostopadłym jednocześnie do i , który uzupełnia układ prawoskrętny. Ograniczenie prawoskrętności jest niezbędne, ponieważ istnieją dwa wektory jednostkowe, które są równocześnie prostopadłe do i , mianowicie oraz .

Ilustracja iloczynu wektorowego.

Iloczyn wektorowy jest określony tak, by również były układem prawoskrętnym (jednakże oraz nie muszą być koniecznie ortogonalne). Jest to tzw. reguła prawej dłoni.

Długość może być interpretowana jako pole równoległoboku o bokach oraz .

Iloczyn wektorowy może być zapisany jako

.

Przy wolnym wyborze orientacji przestrzennej (tzn. zezwalając tak na prawoskrętne jak i lewoskrętne układy współrzędnych) iloczyn skalarny dwóch wektorów jest pseudowektorem zamiast wektorem (zob. niżej).

[edytuj] Iloczyn mieszany

Zobacz więcej w osobnym artykule: iloczyn mieszany.

Iloczyn mieszany w rzeczywistości nie jest nowym działaniem, lecz sposobem stosowania dwóch pozostałych operatorów mnożenia względem trzech wektorów. Iloczyn mieszany, oznaczany niekiedy , zdefiniowany jest jako:

.

Ma on trzy podstawowe zastosowania:

• wartość bezwzględna tego iloczynu to objętość równoległościanu o wierzchołkach określonych za pomocą jego czynników;
• jest on równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie trzy wektory są liniowo zależne, co można łatwo uzasadnić uwagą, iż aby trzy wektory które nie mają objętości, muszą leżeć na wspólnej płaszczyźnie;
• jest on dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie trzy wektory są prawoskrętne.

Wyrażony za pomocą składowych (względem prawoskrętnej bazy ortonormalnej), myśląc o trzech wektorach ułożonych w wiersze (bądź kolumny, ale z zachowaniem kolejności), iloczyn mieszany jest po prostu wyznacznikiem 3×3-macierzy mającej trzy wektory wpisane w rzędy

.

Iloczyn mieszany jest liniowy względem wszystkich trzech czynników i antysymetryczny w następującym sensie:

.

[edytuj] Różne bazy kartezjańskie

Wszystkie dotychczasowe przykłady obejmowały wektory wyrażone za pomocą tej samej bazy, mianowicie . Jednakże wektor może być przedstawiony za pomocą dowolnej liczby różnych baz, które nie muszą do siebie przystawać i nadal pozostaje on tym samym wektorem. Przykładowo dla określonego wcześniej wektora jest

,

gdzie stanowią inną bazę ortonormalną niezgodną z . Wartości u,v,w są dobrane tak, by suma wektora dawała w wyniku dokładnie .

Napotkanie wektorów wyrażonych w różnych bazach nie należy do rzadkości (np. jedna baza jest przypisana do Ziemi, druga do poruszającego się pojazdu). Aby przeprowadzić wiele z określonych wyżej działań należy mieć wektory wyrażone w tej samej bazie. Jednym z prostszych sposobów przedstawienia wektora znanego w jednej bazie za pomocą innej jest wykorzystanie macierzy kolumnowych reprezentującej wektory w każdej z baz oraz trzeciej macierzy zawierającej informacje kojarzące ze sobą dwie bazy. Przykładowo, aby znaleźć wartości u,v,w określające w bazie można skorzystać z mnożenia macierzy postaci

,

gdzie każdy element macierzy c_ij jest cosinusem kierunkowym wiążącym z ^[2]. Pojęcie cosinusa kierunkowego odnosi się do cosinusa kąta między dwoma wektorami jednostkowymi, który równy jest też ich iloczynowi skalarnemu^[2].

Oznaczywszy zbiorczo jako bazę oraz jako bazę macierz zawierającą wszystkie współczynniki c_ij nazywa się macierzą przejścia z do , macierzą obrotu od do (ponieważ można ją sobie wyobrażać jako „obrót” wektora z jednej bazy do innej) lub macierzą cosinusów kierunkowych z do ^[2] (ponieważ zawiera ona cosinusy kierunkowe).

Własnością macierzy obrotu jest to, że jej macierz odwrotna jest równa do jej transpozycji. Oznacza to, że macierz obrotu z do jest transpozycją macierzy obrotu z do .

[edytuj] Pozostałe bazy

Baza zastosowanego wyżej układu współrzędnych kartezjańskich jest bazą ortonormalna, tzn. wektory bazowe są ortogonalne, a przy tym jednostkowe. Powyższe wyniki przenoszą się również na pozostałe bazy ortonormalne, takie jak walcowa o wektorach jednostkowych lub sferyczna z wektorami jednostkowymi .

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie przez skalar również uogólniają się w naturalny sposób, o ile wektory bazowe są liniowo niezależne. W takich bazach można określić także iloczyn skalarny, jednak traci on swoją interpretację jako długość.

[edytuj] Pozostałe wymiary

Za wyjątkiem iloczynów wektorowego i mieszanego, powyższe wzory uogólniają się na dwa i więcej wymiarów. Na przykład dodawanie uogólnia się na dwa wymiary następująco:

,

a na cztery wymiary:

.

Iloczyn wektorowy uogólnia się na iloczyn zewnętrzny (ang. exterior product), którego wynikiem jest biwektor, który w ogólności nie jest wektorem. W dwóch wymiarach jest to po prostu skalar

.

[edytuj] Zobacz też

• przestrzeń afiniczna, która odróżnia wektory od punktów,
• czterowektor, przypadek szczególny dla czasoprzestrzeni w teorii względności,
• wektor normalny,
• składowe styczna i normalna (wektora),
• analiza wektorowa,
• wiązka wektorowa,
• notacja wektorowa,
• przestrzeń funkcyjna,
• przestrzeń Banacha, przestrzeń Hilberta,
• układ współrzędnych,
• liczby zespolone, kwaterniony,
• tensor,
• kowariancja i kontrawariancja wektorów.

Przypisy

[edytuj] Linki zewnętrzne

   

Zobacz zbiór multimediów na Wikimedia Commons:
Wektor

• (en) Tożsamości wektorowe (PDF)